Integración usando substituciones trigonométricas ejemplo 12


Esto es lo que usted escribira:

1 / (x sqrt[x^2-1]^3)

∫ 1/(x sqrt(x^2 - 1)^3) d x
<br />          Sustitución <br />          s = x^2, <br />          d s = 2 x d x . <br />         
= ∫ 1/(2 (s - 1)^(3/2) s) d s
<br />          Factorizando constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/((s - 1)^(3/2) s) d s
<br />          Sustitución <br />          t = s - 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(t^(3/2) (t + 1)) d t
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= 1/2 ∫ (1/t^(3/2) - 1/(t^(1/2) (t + 1))) d t
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/(t^(1/2) (t + 1)) d t
<br />          Separando la fraccion 1/(t^(1/2) (t + 1)) en fracciones parciales . <br />         
= 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ (1/t^(1/2) - t^(1/2)/(t + 1)) d t
<br />          Integrando 1/t^(1/2) - t^(1/2)/(t + 1) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + 1/2 ∫ t^(1/2)/(t + 1) d t
<br />          Para el integrante t^(1/2)/(t + 1), <br />          sustituya w = t^(1/2), <br />          d w = 1/(2 t^(1/2)) d t . <br />         
= 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + ∫ w^2/(w^2 + 1) d w
<br />          Haciendo la división en w^2/(w^2 + 1) . <br />         
= 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + ∫ (1 - 1/(w^2 + 1)) d w
<br />          Integrando 1 - 1/(w^2 + 1) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ 1 d w + 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - ∫ 1/(w^2 + 1) d w
<br />          La integral de 1/(w^2 + 1) es tan^(-1)(w) . <br />         
= -tan^(-1)(w) + ∫ 1 d w + 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t
<br />          La integral de 1/t^(3/2) es -2/t^(1/2) . <br />         
= -tan^(-1)(w) + ∫ 1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - 1/t^(1/2)
<br />          La integral de 1/t^(1/2) es 2 t^(1/2) . <br />         
= -tan^(-1)(w) + ∫ 1 d w - t^(1/2) - 1/t^(1/2)
<br />          La integral de 1 es w . <br />         
= w - tan^(-1)(w) - t^(1/2) - 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = t^(1/2) . <br />         
= -tan^(-1)(t^(1/2)) - 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s - 1 . <br />         
= -tan^(-1)((s - 1)^(1/2)) - 1/(s - 1)^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x^2 . <br />         
= -tan^(-1)((x^2 - 1)^(1/2)) - 1/(x^2 - 1)^(1/2) + ÷r
<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
= -((x^2 - 1)^(1/2) tan^(-1)((x^2 - 1)^(1/2)) + 1)/(x^2 - 1)^(1/2) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 9, 2003)