< Integración usando substituciones trigonométricas ejemplo 11

Integración usando substituciones trigonométricas ejemplo 11


Esto es lo que usted escribira:

1 / (x sqrt[x^2+1]^3)

∫ 1/(x sqrt(x^2 + 1)^3) d x
<br />          Sustitución <br />          s = x^2, <br />          d s = 2 x d x . <br />         
= ∫ 1/(2 s (s + 1)^(3/2)) d s
<br />          Factorizando constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s (s + 1)^(3/2)) d s
<br />          Sustitución <br />          t = s + 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         
= 1/2 ∫ 1/((t - 1) t^(3/2)) d t
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= 1/2 ∫ (-1/((1 - t) t^(1/2)) - 1/t^(3/2)) d t
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/((1 - t) t^(1/2)) d t
<br />          Separando la fraccion 1/((1 - t) t^(1/2)) en fracciones parciales . <br />         
= -1/2 ∫ (t^(1/2)/(1 - t) + 1/t^(1/2)) d t - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t
<br />          Integrando la suma t^(1/2)/(1 - t) + 1/t^(1/2) téermino-por-término . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - 1/2 ∫ t^(1/2)/(1 - t) d t
<br />          Para el integrante t^(1/2)/(1 - t), <br />          sustituya w = t^(1/2), <br />          d w = 1/(2 t^(1/2)) d t . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - ∫ w^2/(1 - w^2) d w
<br />          Haciendo la división en w^2/(1 - w^2) . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - ∫ (-1 - 1/((w - 1) (w + 1))) d w
<br />          Integrando -1 - 1/((w - 1) (w + 1)) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + ∫ 1/((w - 1) (w + 1)) d w
<br />          Separando la fraccion 1/((w - 1) (w + 1)) en fracciones parciales . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + ∫ (1/(2 (w - 1)) - 1/(2 (w + 1))) d w
<br />          Integrando 1/(2 (w - 1)) - 1/(2 (w + 1)) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/(w + 1) d w
<br />          La integral de 1/t^(3/2) es -2/t^(1/2) . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/(w + 1) d w + 1/t^(1/2)
<br />          Para el integrante 1/(w + 1), <br />          sustituya y = w + 1, <br />          d y = 1 d w . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/y d y + 1/t^(1/2)
<br />          Para el integrante 1/(w - 1), <br />          sustituya z _ 1 = w - 1, <br />          d z _ 1 = 1 d w . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - 1/2 ∫ 1/y d y + 1/2 ∫ 1/z _ 1 d z _ 1 + 1/t^(1/2)
<br />          La integral de 1/z _ 1 es log(z _ 1) . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - 1/2 ∫ 1/y d y + log(z _ 1)/2 + 1/t^(1/2)
<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - log(y)/2 + log(z _ 1)/2 + 1/t^(1/2)
<br />          La integral de 1/t^(1/2) es 2 t^(1/2) . <br />         
= -∫ -1 d w - log(y)/2 + log(z _ 1)/2 - t^(1/2) + 1/t^(1/2)
<br />          La integral de -1 es -w . <br />         
= w - log(y)/2 + log(z _ 1)/2 - t^(1/2) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo z _ 1 = w - 1 . <br />         
= w + 1/2 log(w - 1) - log(y)/2 - t^(1/2) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo y = w + 1 . <br />         
= w + 1/2 log(w - 1) - 1/2 log(w + 1) - t^(1/2) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = t^(1/2) . <br />         
= 1/2 log(t^(1/2) - 1) - 1/2 log(t^(1/2) + 1) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s + 1 . <br />         
= 1/2 log((s + 1)^(1/2) - 1) - 1/2 log((s + 1)^(1/2) + 1) + 1/(s + 1)^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x^2 . <br />         
= 1/2 log((x^2 + 1)^(1/2) - 1) - 1/2 log((x^2 + 1)^(1/2) + 1) + 1/(x^2 + 1)^(1/2) + ÷r
<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
= ((x^2 + 1)^(1/2) log((x^2 + 1)^(1/2) - 1) - (x^2 + 1)^(1/2) log((x^2 + 1)^(1/2) + 1) + 2)/(2 (x^2 + 1)^(1/2)) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 9, 2003)