Integración usando substituciones trigonométricas ejemplo 10


Esto es lo que usted escribira:

1 / (x sqrt[1-x^2]^3)

∫ 1/(x sqrt(1 - x^2)^3) d x
<br />          Sustitución <br />          s = x^2, <br />          d s = 2 x d x . <br />         
= ∫ 1/(2 (1 - s)^(3/2) s) d s
<br />          Factorizando constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/((1 - s)^(3/2) s) d s
<br />          Sustitución <br />          t = 1/(1 - s)^(3/2), <br />          d t = 3/(2 (1 - s)^(5/2)) d s . <br />         
= 1/3 ∫ 1/((1 - 1/t^(2/3)) t^(2/3)) d t
<br />          Simplificar . <br />         
= 1/3 ∫ 1/(t^(2/3) - 1) d t
<br />          Sustitución <br />          w = t^(2/3), <br />          d w = 2/(3 t^(1/3)) d t . <br />         
= 1/2 ∫ w^(1/2)/(w - 1) d w
<br />          Sustitución <br />          y = w^(1/2), <br />          d y = 1/(2 w^(1/2)) d w . <br />         
= ∫ y^2/(y^2 - 1) d y
<br />          Haciendo divisió larga . <br />         
= ∫ (1 + 1/((y - 1) (y + 1))) d y
<br />          Integrando la suma térmimo-por-término . <br />         
= ∫ 1 d y + ∫ 1/((y - 1) (y + 1)) d y
<br />          Separando la fraccion 1/((y - 1) (y + 1)) en fracciones parciales . <br />         
= ∫ 1 d y + ∫ (1/(2 (y - 1)) - 1/(2 (y + 1))) d y
<br />          Integrando 1/(2 (y - 1)) - 1/(2 (y + 1)) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/(y - 1) d y - 1/2 ∫ 1/(y + 1) d y
<br />          Para el integrante 1/(y + 1), <br />          sustituya z _ 1 = y + 1, <br />          d z _ 1 = 1 d y . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/(y - 1) d y - 1/2 ∫ 1/z _ 1 d z _ 1
<br />          La integral de 1/z _ 1 es log(z _ 1) . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/(y - 1) d y - log(z _ 1)/2
<br />          Para el integrante 1/(y - 1), <br />          sustituya z _ 2 = y - 1, <br />          d z _ 2 = 1 d y . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/z _ 2 d z _ 2 - log(z _ 1)/2
<br />          La integral de 1/z _ 2 es log(z _ 2) . <br />         
= ∫ 1 d y - log(z _ 1)/2 + log(z _ 2)/2
<br />          La integral de 1 es y . <br />         
= y - log(z _ 1)/2 + log(z _ 2)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo z _ 2 = y - 1 . <br />         
= y + 1/2 log(y - 1) - log(z _ 1)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo z _ 1 = y + 1 . <br />         
= y + 1/2 log(y - 1) - 1/2 log(y + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo y = w^(1/2) . <br />         
= 1/2 log(w^(1/2) - 1) - 1/2 log(w^(1/2) + 1) + w^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = t^(2/3) . <br />         
= 1/2 log(t^(1/3) - 1) - 1/2 log(t^(1/3) + 1) + t^(1/3) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = 1/(1 - s)^(3/2) . <br />         
= 1/2 log(1/(1 - s)^(1/2) - 1) - 1/2 log(1 + 1/(1 - s)^(1/2)) + 1/(1 - s)^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x^2 . <br />         
= 1/2 log(1/(1 - x^2)^(1/2) - 1) - 1/2 log(1 + 1/(1 - x^2)^(1/2)) + 1/(1 - x^2)^(1/2) + ÷r
<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
= ((1 - x^2)^(1/2) log(1/(1 - x^2)^(1/2) - 1) - (1 - x^2)^(1/2) log(1 + 1/(1 - x^2)^(1/2)) + 2)/(2 (1 - x^2)^(1/2)) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 9, 2003)