Integración de funciones trigonométricas racionales ejemplo 9


Esto es lo que usted escribira:

1 / (tan[x]+sec[x]^2)

∫ 1/(sec(x)^2 + tan(x)) d x
<br />          Sustitución <br />          s = tan(x), <br />          d s = sec^2(x) d x . <br />         
= ∫ 1/((s^2 + 1) (s^2 + s + 1)) d s
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= ∫ ((s + 1)/(s^2 + s + 1) - s/(s^2 + 1)) d s
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ (s + 1)/(s^2 + s + 1) d s - ∫ s/(s^2 + 1) d s
<br />          Completando el cuadrado in (s + 1)/(s^2 + s + 1) . <br />         
= ∫ (s + 1)/((s + 1/2)^2 + 3/4) d s - ∫ s/(s^2 + 1) d s
<br />          Para el integrante (s + 1)/((s + 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya t = s + 1/2, <br />          d t = 1 d s . <br />         
= ∫ (t + 1/2)/(t^2 + 3/4) d t - ∫ s/(s^2 + 1) d s
<br />          Para el integrante (t + 1/2)/(t^2 + 3/4), <br />          sustituya w = (2 t)/3^(1/2), <br />          d w = 2/3^(1/2) d t . <br />         
= 2/3^(1/2) ∫ ((3^(1/2) w)/2 + 1/2)/(w^2 + 1) d w - ∫ s/(s^2 + 1) d s
<br />          Factorizando las constantes from ((3^(1/2) w)/2 + 1/2)/(w^2 + 1) . <br />         
= 1/3^(1/2) ∫ (3^(1/2) w + 1)/(w^2 + 1) d w - ∫ s/(s^2 + 1) d s
<br />          Integrando la suma (3^(1/2) w + 1)/(w^2 + 1) téermino-por-término . <br />         
= -∫ s/(s^2 + 1) d s + 1/3^(1/2) ∫ 1/(w^2 + 1) d w + ∫ w/(w^2 + 1) d w
<br />          La integral de 1/(w^2 + 1) es tan^(-1)(w) . <br />         
= tan^(-1)(w)/3^(1/2) - ∫ s/(s^2 + 1) d s + ∫ w/(w^2 + 1) d w
<br />          Para el integrante s/(s^2 + 1), <br />          sustituya y = s^2 + 1, <br />          d y = 2 s d s . <br />         
= tan^(-1)(w)/3^(1/2) + ∫ w/(w^2 + 1) d w - 1/2 ∫ 1/y d y
<br />          Para el integrante w/(w^2 + 1), <br />          sustituya z _ 1 = w^2 + 1, <br />          d z _ 1 = 2 w d w . <br />         
= tan^(-1)(w)/3^(1/2) - 1/2 ∫ 1/y d y + 1/2 ∫ 1/z _ 1 d z _ 1
<br />          La integral de 1/z _ 1 es log(z _ 1) . <br />         
= tan^(-1)(w)/3^(1/2) - 1/2 ∫ 1/y d y + log(z _ 1)/2
<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         
= tan^(-1)(w)/3^(1/2) - log(y)/2 + log(z _ 1)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo z _ 1 = w^2 + 1 . <br />         
= tan^(-1)(w)/3^(1/2) + 1/2 log(w^2 + 1) - log(y)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo y = s^2 + 1 . <br />         
= tan^(-1)(w)/3^(1/2) - 1/2 log(s^2 + 1) + 1/2 log(w^2 + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = (2 t)/3^(1/2) . <br />         
= tan^(-1)((2 t)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/2 log(s^2 + 1) + 1/2 log((4 t^2)/3 + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s + 1/2 . <br />         
= tan^(-1)((2 s + 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/2 log(s^2 + 1) + 1/2 log(1/3 (2 s + 1)^2 + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = tan(x) . <br />         
= tan^(-1)((2 tan(x) + 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - log(sec(x)) + 1/2 log(1/3 (2 tan(x) + 1)^2 + 1) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 14, 2003)