Integración de funciones trigonométricas racionales ejemplo 7


Esto es lo que usted escribira:

1 / (cos[x]-sin[x])

∫ 1/(cos(x) - sin(x)) d x
<br />          Sustituir <br />          s = tan(x/2), <br />          d s = 1/2 sec^2(x/2) d x . <br />          <br />          Entonces <br />          d x = 2/(s^2 + 1) d s, <br />          cos(x) = (1 - s^2)/(s^2 + 1), <br />          sin(x) = (2 s)/(s^2 + 1) . <br />         
= 2 ∫ 1/((s^2 + 1) ((1 - s^2)/(s^2 + 1) - (2 s)/(s^2 + 1))) d s
<br />          Simplificar . <br />         
= 2 ∫ 1/(-s^2 - 2 s + 1) d s
<br />          Factorizando el denominador en términos lineales . <br />         
= 2 ∫ -1/((s - 2^(1/2) + 1) (s + 2^(1/2) + 1)) d s
<br />          Factorizando constantes . <br />         
= -2 ∫ 1/((s - 2^(1/2) + 1) (s + 2^(1/2) + 1)) d s
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= -2 ∫ (1/(2 2^(1/2) (s - 2^(1/2) + 1)) - 1/(2 2^(1/2) (s + 2^(1/2) + 1))) d s
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/(s + 2^(1/2) + 1) d s - 1/2^(1/2) ∫ 1/(s - 2^(1/2) + 1) d s
<br />          Para el integrante 1/(s - 2^(1/2) + 1), <br />          sustituya t = s - 2^(1/2) + 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/(s + 2^(1/2) + 1) d s - 1/2^(1/2) ∫ 1/t d t
<br />          Para el integrante 1/(s + 2^(1/2) + 1), <br />          sustituya w = s + 2^(1/2) + 1, <br />          d w = 1 d s . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/w d w - 1/2^(1/2) ∫ 1/t d t
<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/w d w - log(t)/2^(1/2)
<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         
= log(w)/2^(1/2) - log(t)/2^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = s + 2^(1/2) + 1 . <br />         
= log(s + 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) - log(t)/2^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s - 2^(1/2) + 1 . <br />         
= log(s + 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) - log(s - 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = tan(x/2) . <br />         
= log(tan(x/2) + 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) - log(tan(x/2) - 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) + ÷r
<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
= -(log(tan(x/2) - 2^(1/2) + 1) - log(tan(x/2) + 2^(1/2) + 1))/2^(1/2) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 14, 2003)