Integración de funciones trigonométricas racionales ejemplo 3


Esto es lo que usted escribira:

1 / (tan[x]-1)

∫ 1/(tan(x) - 1) d x
<br />          Sustitución <br />          s = tan(x), <br />          d s = sec^2(x) d x . <br />         
= ∫ 1/((s - 1) (s^2 + 1)) d s
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= ∫ ((-s - 1)/(2 (s^2 + 1)) + 1/(2 (s - 1))) d s
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/2 ∫ (s + 1)/(s^2 + 1) d s
<br />          Integrando la suma (s + 1)/(s^2 + 1) téermino-por-término . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/2 ∫ 1/(s^2 + 1) d s - 1/2 ∫ s/(s^2 + 1) d s
<br />          Para el integrante s/(s^2 + 1), <br />          sustituya t = s^2 + 1, <br />          d t = 2 s d s . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/2 ∫ 1/(s^2 + 1) d s - 1/4 ∫ 1/t d t
<br />          La integral de 1/(s^2 + 1) es tan^(-1)(s) . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) + 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/4 ∫ 1/t d t
<br />          Para el integrante 1/(s - 1), <br />          sustituya w = s - 1, <br />          d w = 1 d s . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) - 1/4 ∫ 1/t d t + 1/2 ∫ 1/w d w
<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) - 1/4 ∫ 1/t d t + log(w)/2
<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) - log(t)/4 + log(w)/2 + ÷r
<br />          Resustituyendo w = s - 1 . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) + 1/2 log(s - 1) - log(t)/4 + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s^2 + 1 . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) + 1/2 log(s - 1) - 1/4 log(s^2 + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = tan(x) . <br />         
= -x/2 - 1/2 log(sec(x)) + 1/2 log(tan(x) - 1) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 14, 2003)