Integración de funciones trigonométricas racionales ejemplo 12


Esto es lo que usted escribira:

1 / (tanh[x]-1)

∫ 1/(tanh(x) - 1) d x
<br />          Sustitución <br />          s = tanh(x), <br />          d s = sech^2(x) d x . <br />         
= ∫ 1/((s - 1) (1 - s^2)) d s
<br />          Factorizando el denominador en términos lineales y <br />          términos quadraticos irreducibles . <br />         
= ∫ -1/((s - 1)^2 (s + 1)) d s
<br />          Factorizando constantes . <br />         
= -∫ 1/((s - 1)^2 (s + 1)) d s
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= -∫ (1/(4 (s + 1)) - 1/(4 (s - 1)) + 1/(2 (s - 1)^2)) d s
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= -1/2 ∫ 1/(s - 1)^2 d s + 1/4 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/4 ∫ 1/(s + 1) d s
<br />          Para el integrante 1/(s - 1)^2, <br />          sustituya t = s - 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         
= 1/4 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/4 ∫ 1/(s + 1) d s - 1/2 ∫ 1/t^2 d t
<br />          La integral de 1/t^2 es -1/t . <br />         
= 1/4 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/4 ∫ 1/(s + 1) d s + 1/(2 t)
<br />          Para el integrante 1/(s + 1), <br />          sustituya w = s + 1, <br />          d w = 1 d s . <br />         
= 1/4 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/4 ∫ 1/w d w + 1/(2 t)
<br />          Para el integrante 1/(s - 1), <br />          sustituya t = s - 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         
= 1/4 ∫ 1/t d t - 1/4 ∫ 1/w d w + 1/(2 t)
<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         
= 1/4 ∫ 1/t d t - log(w)/4 + 1/(2 t)
<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />         
= log(t)/4 - log(w)/4 + 1/(2 t) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = s + 1 . <br />         
= -1/4 log(s + 1) + log(t)/4 + 1/(2 t) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s - 1 . <br />         
= 1/4 log(s - 1) - 1/4 log(s + 1) + 1/(2 (s - 1)) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = tanh(x) . <br />         
= 1/4 log(tanh(x) - 1) - 1/4 log(tanh(x) + 1) + 1/(2 (tanh(x) - 1)) + ÷r
<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
= (tanh(x) log(tanh(x) - 1) - log(tanh(x) - 1) + log(tanh(x) + 1) - log(tanh(x) + 1) tanh(x) + 2)/(4 (tanh(x) - 1)) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 14, 2003)