Integración de funciones trigonométricas racionales ejemplo 11


Esto es lo que usted escribira:

1 / (sinh[x]-1)

∫ 1/(sinh(x) - 1) d x
<br />          Sustituir <br />          s = tanh(x/2), <br />          d s = 1/2 sech^2(x/2) d x . <br />          <br />          Entonces <br />          d x = 2 (1 - s^2) d s, <br />          cosh(x) = (s^2 + 1)/(1 - s^2), <br />          sinh(x) = (2 s)/(1 - s^2) . <br />         
= 2 ∫ 1/((1 - s^2) ((2 s)/(1 - s^2) - 1)) d s
<br />          Simplificar . <br />         
= 2 ∫ 1/(s^2 + 2 s - 1) d s
<br />          Factorizando el denominador en términos lineales . <br />         
= 2 ∫ 1/((s - 2^(1/2) + 1) (s + 2^(1/2) + 1)) d s
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= 2 ∫ (1/(2 2^(1/2) (s - 2^(1/2) + 1)) - 1/(2 2^(1/2) (s + 2^(1/2) + 1))) d s
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/(s - 2^(1/2) + 1) d s - 1/2^(1/2) ∫ 1/(s + 2^(1/2) + 1) d s
<br />          Para el integrante 1/(s - 2^(1/2) + 1), <br />          sustituya t = s - 2^(1/2) + 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/t d t - 1/2^(1/2) ∫ 1/(s + 2^(1/2) + 1) d s
<br />          Para el integrante 1/(s + 2^(1/2) + 1), <br />          sustituya w = s + 2^(1/2) + 1, <br />          d w = 1 d s . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/t d t - 1/2^(1/2) ∫ 1/w d w
<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         
= 1/2^(1/2) ∫ 1/t d t - log(w)/2^(1/2)
<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />         
= log(t)/2^(1/2) - log(w)/2^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = s + 2^(1/2) + 1 . <br />         
= log(t)/2^(1/2) - log(s + 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = s - 2^(1/2) + 1 . <br />         
= log(s - 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) - log(s + 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = tanh(x/2) . <br />         
= log(tanh(x/2) - 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) - log(tanh(x/2) + 2^(1/2) + 1)/2^(1/2) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 14, 2003)