Integración de potencias trigonométricas ejemplo 12


Esto es lo que usted escribira:

x cosh[x]^5

∫ x cosh(x)^5 d x
<br />          Sustituyendo <br />          cosh^2(x) = sinh^2(x) + 1 . <br />         
= ∫ x cosh(x) (sinh^2(x) + 1)^2 d x
<br />          Multiplicando . <br />         
= ∫ (x cosh(x) sinh^4(x) + 2 x cosh(x) sinh^2(x) + x cosh(x)) d x
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ x cosh(x) d x + 2 ∫ x cosh(x) sinh^2(x) d x + ∫ x cosh(x) sinh^4(x) d x
<br />          Para el integrante x cosh(x) sinh^4(x), <br />          sustituyendo <br />          sinh^2(x) = 1/2 cosh(2 x) - 1/2, <br />          cosh^2(x) = 1/2 cosh(2 x) + 1/2, <br />          y se continua de la misma manera tantas veces como sea necesario . <br />         
= ∫ x cosh(x) d x + ∫ 1/4 x cosh(x) (cosh(2 x) - 1)^2 d x + 2 ∫ x cosh(x) sinh^2(x) d x
<br />          Factorizando las constantes from 1/4 x cosh(x) (cosh(2 x) - 1)^2 . <br />         
= ∫ x cosh(x) d x + 1/4 ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1)^2 d x + 2 ∫ x cosh(x) sinh^2(x) d x
<br />          Multiplicando en x cosh(x) (cosh(2 x) - 1)^2 . <br />         
= ∫ x cosh(x) d x + 1/4 ∫ (x cosh(x) cosh^2(2 x) - 2 x cosh(x) cosh(2 x) + x cosh(x)) d x + 2 ∫ x cosh(x) sinh^2(x) d x
<br />          Integrando x cosh(x) cosh^2(2 x) - 2 x cosh(x) cosh(2 x) + x cosh(x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 5/4 ∫ x cosh(x) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/4 ∫ x cosh(x) cosh^2(2 x) d x + 2 ∫ x cosh(x) sinh^2(x) d x
<br />          Para el integrante x cosh(x) cosh^2(2 x), <br />          sustituya <br />          sinh^2(2 x) = 1/2 cosh(4 x) - 1/2, <br />          cosh^2(2 x) = 1/2 cosh(4 x) + 1/2 . <br />         
= 5/4 ∫ x cosh(x) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/4 ∫ x cosh(x) (1/2 cosh(4 x) + 1/2) d x + 2 ∫ x cosh(x) sinh^2(x) d x
<br />          Para el integrante x cosh(x) sinh^2(x), <br />          sustituyendo <br />          sinh^2(x) = 1/2 cosh(2 x) - 1/2, <br />          cosh^2(x) = 1/2 cosh(2 x) + 1/2, <br />          y se continua de la misma manera tantas veces como sea necesario . <br />         
= 5/4 ∫ x cosh(x) d x + 2 ∫ 1/2 x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/4 ∫ x cosh(x) (1/2 cosh(4 x) + 1/2) d x
<br />          Factorizando las constantes from 1/2 x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) . <br />         
= 5/4 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/4 ∫ x cosh(x) (1/2 cosh(4 x) + 1/2) d x
<br />          Multiplicando en x cosh(x) (1/2 cosh(4 x) + 1/2) . <br />         
= 5/4 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/4 ∫ (1/2 x cosh(x) + 1/2 x cosh(4 x) cosh(x)) d x
<br />          Integrando 1/2 x cosh(x) + 1/2 x cosh(4 x) cosh(x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 11/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/8 ∫ x cosh(x) cosh(4 x) d x
<br />          Para cosh(x) cosh(4 x), use la formula para ángulos multiples <br />          cosh(m x) cosh(n x) = 1/2 cosh((m + n) x) + 1/2 cosh((m - n) x) <br />          donde m = 1 y n = 4 . <br />         
= 11/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/8 ∫ (1/2 x cosh(3 x) + 1/2 x cosh(5 x)) d x
<br />          Integrando 1/2 x cosh(3 x) + 1/2 x cosh(5 x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 11/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 1/2 ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x + 1/16 ∫ x cosh(3 x) d x + 1/16 ∫ x cosh(5 x) d x
<br />          Para cosh(x) cosh(2 x), use la formula para ángulos multiples <br />          cosh(m x) cosh(n x) = 1/2 cosh((m + n) x) + 1/2 cosh((m - n) x) <br />          donde m = 1 y n = 2 . <br />         
= 11/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x + 1/16 ∫ x cosh(3 x) d x - 1/2 ∫ (1/2 x cosh(x) + 1/2 x cosh(3 x)) d x + 1/16 ∫ x cosh(5 x) d x
<br />          Integrando 1/2 x cosh(x) + 1/2 x cosh(3 x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 9/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 3/16 ∫ x cosh(3 x) d x + 1/16 ∫ x cosh(5 x) d x
<br />          Para el integrante x cosh(5 x), <br />          sustituya s = 5 x, <br />          d s = 5 d x . <br />         
= 1/80 ∫ 1/5 s cosh(s) d s + 9/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 3/16 ∫ x cosh(3 x) d x
<br />          Factorizando las constantes from 1/5 s cosh(s) . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s + 9/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x - 3/16 ∫ x cosh(3 x) d x
<br />          Para el integrante x cosh(3 x), <br />          sustituya t = 3 x, <br />          d t = 3 d x . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s - 1/16 ∫ 1/3 t cosh(t) d t + 9/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x
<br />          Factorizando las constantes from 1/3 t cosh(t) . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s - 1/48 ∫ t cosh(t) d t + 9/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) d x
<br />          Multiplicando en x cosh(x) (cosh(2 x) - 1) . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s - 1/48 ∫ t cosh(t) d t + 9/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ (x cosh(x) cosh(2 x) - x cosh(x)) d x
<br />          Integrando x cosh(x) cosh(2 x) - x cosh(x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s - 1/48 ∫ t cosh(t) d t + 1/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ x cosh(x) cosh(2 x) d x
<br />          Para cosh(x) cosh(2 x), use la formula para ángulos multiples <br />          cosh(m x) cosh(n x) = 1/2 cosh((m + n) x) + 1/2 cosh((m - n) x) <br />          donde m = 1 y n = 2 . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s - 1/48 ∫ t cosh(t) d t + 1/8 ∫ x cosh(x) d x + ∫ (1/2 x cosh(x) + 1/2 x cosh(3 x)) d x
<br />          Integrando 1/2 x cosh(x) + 1/2 x cosh(3 x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s - 1/48 ∫ t cosh(t) d t + 5/8 ∫ x cosh(x) d x + 1/2 ∫ x cosh(3 x) d x
<br />          Para el integrante x cosh(3 x), <br />          sustituya t = 3 x, <br />          d t = 3 d x . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s + 1/6 ∫ 1/3 t cosh(t) d t - 1/48 ∫ t cosh(t) d t + 5/8 ∫ x cosh(x) d x
<br />          Factorizando las constantes from 1/3 t cosh(t) . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s + 5/144 ∫ t cosh(t) d t + 5/8 ∫ x cosh(x) d x
<br />          Integración x cosh(x) usando por partes using <br />          u = x , d v = cosh(x) d x, <br />          d u = 1 d x, v = sinh(x) . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s + 5/144 ∫ t cosh(t) d t - 5/8 ∫ sinh(x) d x + 5/8 x sinh(x)
<br />          Integración t cosh(t) usando por partes using <br />          u = t , d v = cosh(t) d t, <br />          d u = 1 d t, v = sinh(t) . <br />         
= 1/400 ∫ s cosh(s) d s - 5/144 ∫ sinh(t) d t - 5/8 ∫ sinh(x) d x + 5/144 t sinh(t) + 5/8 x sinh(x)
<br />          Integración s cosh(s) usando por partes using <br />          u = s , d v = cosh(s) d s, <br />          d u = 1 d s, v = sinh(s) . <br />         
= -1/400 ∫ sinh(s) d s - 5/144 ∫ sinh(t) d t - 5/8 ∫ sinh(x) d x + 1/400 s sinh(s) + 5/144 t sinh(t) + 5/8 x sinh(x)
<br />          La integral de sinh(x) es cosh(x) . <br />         
= -(5 cosh(x))/8 - 1/400 ∫ sinh(s) d s - 5/144 ∫ sinh(t) d t + 1/400 s sinh(s) + 5/144 t sinh(t) + 5/8 x sinh(x)
<br />          La integral de sinh(t) es cosh(t) . <br />         
= -(5 cosh(t))/144 - (5 cosh(x))/8 - 1/400 ∫ sinh(s) d s + 1/400 s sinh(s) + 5/144 t sinh(t) + 5/8 x sinh(x)
<br />          La integral de sinh(s) es cosh(s) . <br />         
= -cosh(s)/400 - (5 cosh(t))/144 - (5 cosh(x))/8 + 1/400 s sinh(s) + 5/144 t sinh(t) + 5/8 x sinh(x) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = 3 x . <br />         
= -cosh(s)/400 - (5 cosh(x))/8 - 5/144 cosh(3 x) + 1/400 s sinh(s) + 5/8 x sinh(x) + 5/48 x sinh(3 x) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = 5 x . <br />         
= -(5 cosh(x))/8 - 5/144 cosh(3 x) - 1/400 cosh(5 x) + 5/8 x sinh(x) + 5/48 x sinh(3 x) + 1/80 x sinh(5 x) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 3, 2003)