Integración de potencias trigonométricas ejemplo 11


Esto es lo que usted escribira:

x tan[x]^4

∫ x tan(x)^4 d x
<br />          Sustituyendo <br />          tan^2(x) = sec^2(x) - 1 . <br />         
= ∫ x (sec^2(x) - 1) tan^2(x) d x
<br />          Multiplicando . <br />         
= ∫ (x sec^2(x) tan^2(x) - x tan^2(x)) d x
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ x sec^2(x) tan^2(x) d x - ∫ x tan^2(x) d x
<br />          Para el integrante x sec^2(x) tan^2(x), <br />          sustituyendo tan^2(x) = sec^2(x) - 1 . <br />         
= ∫ x sec^2(x) (sec^2(x) - 1) d x - ∫ x tan^2(x) d x
<br />          Multiplicando en x sec^2(x) (sec^2(x) - 1) . <br />         
= ∫ (x sec^4(x) - x sec^2(x)) d x - ∫ x tan^2(x) d x
<br />          Integrando x sec^4(x) - x sec^2(x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= -∫ x sec^2(x) d x + ∫ x sec^4(x) d x - ∫ x tan^2(x) d x
<br />          Para x sec^4(x), use la formula de reducción <br />          ∫ x sec^n(x) d x = (x sec^(n - 2)(x) tan(x))/(n - 1) - sec^(n - 2)(x)/((n - 2) (n - 1)) + (n - 2)/(n - 1) ∫ x sec^(n - 2)(x) d x <br />          donde n = 4 . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 - 1/3 ∫ x sec^2(x) d x - ∫ x tan^2(x) d x
<br />          Integración x sec^2(x) usando por partes using <br />          u = x , d v = sec^2(x) d x, <br />          d u = 1 d x, v = tan(x) . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 + 1/3 ∫ tan(x) d x - ∫ x tan^2(x) d x - 1/3 x tan(x)
<br />          Para el integrante x tan^2(x), <br />          sustituyendo tan^2(x) = sec^2(x) - 1 . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 - ∫ x (sec^2(x) - 1) d x + 1/3 ∫ tan(x) d x - 1/3 x tan(x)
<br />          Multiplicando en x (sec^2(x) - 1) . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 - ∫ (x sec^2(x) - x) d x + 1/3 ∫ tan(x) d x - 1/3 x tan(x)
<br />          Integrando x sec^2(x) - x término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 + ∫ x d x - ∫ x sec^2(x) d x + 1/3 ∫ tan(x) d x - 1/3 x tan(x)
<br />          Integración x sec^2(x) usando por partes using <br />          u = x , d v = sec^2(x) d x, <br />          d u = 1 d x, v = tan(x) . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 + ∫ x d x + 4/3 ∫ tan(x) d x - 4/3 x tan(x)
<br />          Para el integrante tan(x), <br />          sustituya s = cos(x), <br />          d s = -sin(x) d x . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 - 4/3 ∫ 1/s d s + ∫ x d x - 4/3 x tan(x)
<br />          La integral de 1/s es log(s) . <br />         
= 1/3 x tan(x) sec^2(x) - sec^2(x)/6 + ∫ x d x - (4 log(s))/3 - 4/3 x tan(x)
<br />          La integral de x es x^2/2 . <br />         
= x^2/2 + 1/3 sec^2(x) tan(x) x - 4/3 tan(x) x - sec^2(x)/6 - (4 log(s))/3 + ÷r
<br />          Resustituyendo s = cos(x) . <br />         
= x^2/2 + 1/3 sec^2(x) tan(x) x - 4/3 tan(x) x - sec^2(x)/6 - 4/3 log(cos(x)) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 3, 2003)