Integración de potencias trigonométricas ejemplo 10


Esto es lo que usted escribira:

x sin[x]^3

∫ x sin(x)^3 d x
<br />          Sustituyendo <br />          sin^2(x) = 1 - cos^2(x) . <br />         
= ∫ x (1 - cos^2(x)) sin(x) d x
<br />          Simplificar . <br />         
= ∫ -x (cos^2(x) - 1) sin(x) d x
<br />          Factorizando constantess . <br />         
= -∫ x (cos^2(x) - 1) sin(x) d x
<br />          Multiplicando . <br />         
= -∫ (x cos^2(x) sin(x) - x sin(x)) d x
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ x sin(x) d x - ∫ x cos^2(x) sin(x) d x
<br />          Para el integrante x cos^2(x) sin(x), <br />          sustituyendo <br />          sin^2(x) = 1/2 - 1/2 cos(2 x), <br />          cos^2(x) = 1/2 cos(2 x) + 1/2, <br />          y se continua de la misma manera tantas veces como sea necesario . <br />         
= ∫ x sin(x) d x - ∫ 1/2 x (cos(2 x) + 1) sin(x) d x
<br />          Factorizando las constantes from 1/2 x (cos(2 x) + 1) sin(x) . <br />         
= ∫ x sin(x) d x - 1/2 ∫ x (cos(2 x) + 1) sin(x) d x
<br />          Multiplicando en x (cos(2 x) + 1) sin(x) . <br />         
= ∫ x sin(x) d x - 1/2 ∫ (x sin(x) + x cos(2 x) sin(x)) d x
<br />          Integrando la suma x sin(x) + x cos(2 x) sin(x) téermino-por-término . <br />         
= 1/2 ∫ x sin(x) d x - 1/2 ∫ x cos(2 x) sin(x) d x
<br />          Para x cos(2 x) sin(x), use la formula para ángulos multiples <br />          sin(m x) cos(n x) = 1/2 sin((m + n) x) + 1/2 sin((m - n) x) <br />          donde m = 1 y n = 2 . <br />         
= 1/2 ∫ x sin(x) d x - 1/2 ∫ (1/2 x sin(3 x) - 1/2 x sin(x)) d x
<br />          Integrando 1/2 x sin(3 x) - 1/2 x sin(x) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 3/4 ∫ x sin(x) d x - 1/4 ∫ x sin(3 x) d x
<br />          Para el integrante x sin(3 x), <br />          sustituya s = 3 x, <br />          d s = 3 d x . <br />         
= 3/4 ∫ x sin(x) d x - 1/12 ∫ 1/3 s sin(s) d s
<br />          Factorizando las constantes from 1/3 s sin(s) . <br />         
= 3/4 ∫ x sin(x) d x - 1/36 ∫ s sin(s) d s
<br />          Integración x sin(x) usando por partes using <br />          u = x , d v = sin(x) d x, <br />          d u = 1 d x, v = -cos(x) . <br />         
= -3/4 x cos(x) - 3/4 ∫ -cos(x) d x - 1/36 ∫ s sin(s) d s
<br />          Factorizando las constantes from -cos(x) . <br />         
= -3/4 x cos(x) + 3/4 ∫ cos(x) d x - 1/36 ∫ s sin(s) d s
<br />          Integración s sin(s) usando por partes using <br />          u = s , d v = sin(s) d s, <br />          d u = 1 d s, v = -cos(s) . <br />         
= 1/36 s cos(s) - 3/4 x cos(x) + 1/36 ∫ -cos(s) d s + 3/4 ∫ cos(x) d x
<br />          Factorizando las constantes from -cos(s) . <br />         
= 1/36 s cos(s) - 3/4 x cos(x) - 1/36 ∫ cos(s) d s + 3/4 ∫ cos(x) d x
<br />          La integral de cos(x) es sin(x) . <br />         
= 1/36 s cos(s) - 3/4 x cos(x) - 1/36 ∫ cos(s) d s + (3 sin(x))/4
<br />          La integral de cos(s) es sin(s) . <br />         
= 1/36 s cos(s) - 3/4 x cos(x) - sin(s)/36 + (3 sin(x))/4 + ÷r
<br />          Resustituyendo s = 3 x . <br />         
= -3/4 x cos(x) + 1/12 x cos(3 x) + (3 sin(x))/4 - 1/36 sin(3 x) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 3, 2003)