Integración por fracciones parciales ejemplo 9


Esto es lo que usted escribira:

x^3 / (x^3 + 1)

∫ x^3/(x^3 + 1) d x
<br />          Haciendo divisió larga . <br />         
= ∫ (1 - 1/((x + 1) (x^2 - x + 1))) d x
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ 1 d x - ∫ 1/((x + 1) (x^2 - x + 1)) d x
<br />          Separando la fraccion 1/((x + 1) (x^2 - x + 1)) en fracciones parciales . <br />         
= ∫ 1 d x - ∫ ((2 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1))) d x
<br />          Integrando (2 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1)) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x - 1/3 ∫ (2 - x)/(x^2 - x + 1) d x
<br />          Completando el cuadrado in (2 - x)/(x^2 - x + 1) . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Para el integrante (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ (3/2 - s)/(s^2 + 3/4) d s - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Para el integrante (3/2 - s)/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         
= ∫ 1 d x - 2/(3 3^(1/2)) ∫ (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Integrando la suma (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3^(1/2) ∫ 1/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Para el integrante t/(t^2 + 1), <br />          sustituya w = t^2 + 1, <br />          d w = 2 t d t . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/y d y
<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - log(y)/3
<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + log(w)/6 - log(y)/3
<br />          La integral de 1 es x . <br />         
= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - log(y)/3 + ÷r
<br />          Resustituyendo y = x + 1 . <br />         
= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - 1/3 log(x + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = t^2 + 1 . <br />         
= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/6 log(t^2 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         
= x - tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         
= x - tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 14, 2003)