Integración por fracciones parciales ejemplo 11


Esto es lo que usted escribira:

x / ((x + 1) (x^3 + 1))

∫ x/((x + 1) (x^3 + 1)) d x
<br />          Factorizando el denominador en términos lineales y <br />          términos quadraticos irreducibles . <br />         
= ∫ x/((x + 1)^2 (x^2 - x + 1)) d x
<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         
= ∫ (1/(3 (x^2 - x + 1)) - 1/(3 (x + 1)^2)) d x
<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         
= 1/3 ∫ 1/(x^2 - x + 1) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x
<br />          Completando el cuadrado in 1/(x^2 - x + 1) . <br />         
= 1/3 ∫ 1/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x
<br />          Para el integrante 1/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         
= 1/3 ∫ 1/(s^2 + 3/4) d s - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x
<br />          Para el integrante 1/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         
= 2/(3 3^(1/2)) ∫ 1/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x
<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         
= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x
<br />          Sustitución <br />          w = x + 1, <br />          d w = 1 d x . <br />         
= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) - 1/3 ∫ 1/w^2 d w
<br />          La integral de 1/w^2 es -1/w . <br />         
= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 w) + ÷r
<br />          Resustituyendo w = x + 1 . <br />         
= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + ÷r
<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         
= (2 tan^(-1)((2 s)/3^(1/2)))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         
= (2 tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + ÷r
<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
= (2 3^(1/2) x tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 2 3^(1/2) tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 3)/(9 (x + 1)) + ÷r

Converted by Mathematica  (March 14, 2003)