substitutions trigonométriques exemple 7


Voici ce que vous devez entrer:

1 / (x sqrt[1-x^2])

∫ 1/(x sqrt(1 - x^2)) d x
<br />          Substituer <br />    &n ...      d s = 2 x d x . <br />         
= ∫ 1/(2 (1 - s)^(1/2) s) d s
<br />          Mettre en facteur les constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/((1 - s)^(1/2) s) d s
<br />          Substituer <br />    &n ... p;  d t = 1/(2 (1 - s)^(3/2)) d s . <br />         
= ∫ 1/((1 - 1/t^2) t^2) d t
<br />          Substituer <br />    &n ... sp;    d w = -1/t^2 d t . <br />         
= -∫ 1/(1 - w^2) d w
<br />          Décomposer le dénominateur en produit de termes linéaires . <br />         
= -∫ -1/((w - 1) (w + 1)) d w
<br />          Mettre en facteur les constantes . <br />         
= ∫ 1/((w - 1) (w + 1)) d w
<br />          Décomposer la fraction en éléments simples . <br />         
= ∫ (1/(2 (w - 1)) - 1/(2 (w + 1))) d w
<br />          Intégrer la somme terme par ter ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/(w + 1) d w
<br />          Dans l ' intégrant 1/(w + 1), < ... p;     d y = 1 d w . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/y d y
<br />          Dans l ' intégrant 1/(w - 1), < ... bsp;    d z _ 1 = 1 d w . <br />         
= 1/2 ∫ 1/z _ 1 d z _ 1 - 1/2 ∫ 1/y d y
<br />          L ' intégrale de 1/z _ 1 est log(z _ 1) . <br />         
= log(z _ 1)/2 - 1/2 ∫ 1/y d y
<br />          L ' intégrale de 1/y est log(y) . <br />         
= log(z _ 1)/2 - log(y)/2 + ÷r
<br />          Resubstituer z _ 1 = w - 1 . <br />         
= 1/2 log(w - 1) - log(y)/2 + ÷r
<br />          Resubstituer y = w + 1 . <br />         
= 1/2 log(w - 1) - 1/2 log(w + 1) + ÷r
<br />          Resubstituer w = 1/t . <br />         
= 1/2 log(1/t - 1) - 1/2 log(1 + 1/t) + ÷r
<br />          Resubstituer t = 1/(1 - s)^(1/2) . <br />         
= 1/2 log((1 - s)^(1/2) - 1) - 1/2 log((1 - s)^(1/2) + 1) + ÷r
<br />          Resubstituer s = x^2 . <br />         
= 1/2 log((1 - x^2)^(1/2) - 1) - 1/2 log((1 - x^2)^(1/2) + 1) + ÷r

Converted by Mathematica  (January 12, 2003)