substitutions trigonométriques exemple 11


Voici ce que vous devez entrer:

1 / (x sqrt[x^2+1]^3)

∫ 1/(x sqrt(x^2 + 1)^3) d x
<br />          Substituer <br />    &n ...      d s = 2 x d x . <br />         
= ∫ 1/(2 s (s + 1)^(3/2)) d s
<br />          Mettre en facteur les constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s (s + 1)^(3/2)) d s
<br />          Substituer <br />    &n ... p;     d t = 1 d s . <br />         
= 1/2 ∫ 1/((t - 1) t^(3/2)) d t
<br />          Décomposer la fraction en éléments simples . <br />         
= 1/2 ∫ (-1/((1 - t) t^(1/2)) - 1/t^(3/2)) d t
<br />          Intégrer la somme terme par ter ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/((1 - t) t^(1/2)) d t
<br />          Décomposer la fraction 1/((1 - ... (1/2)) en éléments simples . <br />         
= -1/2 ∫ (t^(1/2)/(1 - t) + 1/t^(1/2)) d t - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t
<br />          Intégrer la somme t^(1/2)/(1 - t) + 1/t^(1/2) terme par terme . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - 1/2 ∫ t^(1/2)/(1 - t) d t
<br />          Dans l ' intégrant t^(1/2)/(1 - ... p;   d w = 1/(2 t^(1/2)) d t . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - ∫ w^2/(1 - w^2) d w
<br />          Effectuer la division dans w^2/(1 - w^2) . <br />         
= -1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - ∫ (-1 - 1/((w - 1) (w + 1))) d w
<br />          Intégrer -1 - 1/((w - 1) (w + 1 ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + ∫ 1/((w - 1) (w + 1)) d w
<br />          Décomposer la fraction 1/((w - ... + 1)) en éléments simples . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + ∫ (1/(2 (w - 1)) - 1/(2 (w + 1))) d w
<br />          Intégrer 1/(2 (w - 1)) - 1/(2 ( ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(3/2) d t - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/(w + 1) d w
<br />          L ' intégrale de 1/t^(3/2) est -2/t^(1/2) . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/(w + 1) d w + 1/t^(1/2)
<br />          Dans l ' intégrant 1/(w + 1), < ... p;     d y = 1 d w . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t + 1/2 ∫ 1/(w - 1) d w - 1/2 ∫ 1/y d y + 1/t^(1/2)
<br />          Dans l ' intégrant 1/(w - 1), < ... bsp;    d z _ 1 = 1 d w . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - 1/2 ∫ 1/y d y + 1/2 ∫ 1/z _ 1 d z _ 1 + 1/t^(1/2)
<br />          L ' intégrale de 1/z _ 1 est log(z _ 1) . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - 1/2 ∫ 1/y d y + log(z _ 1)/2 + 1/t^(1/2)
<br />          L ' intégrale de 1/y est log(y) . <br />         
= -∫ -1 d w - 1/2 ∫ 1/t^(1/2) d t - log(y)/2 + log(z _ 1)/2 + 1/t^(1/2)
<br />          L ' intégrale de 1/t^(1/2) est 2 t^(1/2) . <br />         
= -∫ -1 d w - log(y)/2 + log(z _ 1)/2 - t^(1/2) + 1/t^(1/2)
<br />          L ' intégrale de -1 est -w . <br />         
= w - log(y)/2 + log(z _ 1)/2 - t^(1/2) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer z _ 1 = w - 1 . <br />         
= w + 1/2 log(w - 1) - log(y)/2 - t^(1/2) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer y = w + 1 . <br />         
= w + 1/2 log(w - 1) - 1/2 log(w + 1) - t^(1/2) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer w = t^(1/2) . <br />         
= 1/2 log(t^(1/2) - 1) - 1/2 log(t^(1/2) + 1) + 1/t^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer t = s + 1 . <br />         
= 1/2 log((s + 1)^(1/2) - 1) - 1/2 log((s + 1)^(1/2) + 1) + 1/(s + 1)^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer s = x^2 . <br />         
= 1/2 log((x^2 + 1)^(1/2) - 1) - 1/2 log((x^2 + 1)^(1/2) + 1) + 1/(x^2 + 1)^(1/2) + ÷r
<br />          Mettre en facteur pour une autre expression du résultat . <br />         
= ((x^2 + 1)^(1/2) log((x^2 + 1)^(1/2) - 1) - (x^2 + 1)^(1/2) log((x^2 + 1)^(1/2) + 1) + 2)/(2 (x^2 + 1)^(1/2)) + ÷r

Converted by Mathematica  (December 20, 2002)