substitutions trigonométriques exemple 10


Voici ce que vous devez entrer:

1 / (x sqrt[1-x^2]^3)

∫ 1/(x sqrt(1 - x^2)^3) d x
<br />          Substituer <br />    &n ...      d s = 2 x d x . <br />         
= ∫ 1/(2 (1 - s)^(3/2) s) d s
<br />          Mettre en facteur les constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/((1 - s)^(3/2) s) d s
<br />          Substituer <br />    &n ... p;  d t = 3/(2 (1 - s)^(5/2)) d s . <br />         
= 1/3 ∫ 1/((1 - 1/t^(2/3)) t^(2/3)) d t
<br />          Simplifier . <br />         
= 1/3 ∫ 1/(t^(2/3) - 1) d t
<br />          Substituer <br />    &n ... p;   d w = 2/(3 t^(1/3)) d t . <br />         
= 1/2 ∫ w^(1/2)/(w - 1) d w
<br />          Substituer <br />    &n ... p;   d y = 1/(2 w^(1/2)) d w . <br />         
= ∫ y^2/(y^2 - 1) d y
<br />          Effectuer la division . <br />         
= ∫ (1 + 1/((y - 1) (y + 1))) d y
<br />          Intégrer la somme terme par terme . <br />         
= ∫ 1 d y + ∫ 1/((y - 1) (y + 1)) d y
<br />          Décomposer la fraction 1/((y - ... + 1)) en éléments simples . <br />         
= ∫ 1 d y + ∫ (1/(2 (y - 1)) - 1/(2 (y + 1))) d y
<br />          Intégrer 1/(2 (y - 1)) - 1/(2 ( ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/(y - 1) d y - 1/2 ∫ 1/(y + 1) d y
<br />          Dans l ' intégrant 1/(y + 1), < ... bsp;    d z _ 1 = 1 d y . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/(y - 1) d y - 1/2 ∫ 1/z _ 1 d z _ 1
<br />          L ' intégrale de 1/z _ 1 est log(z _ 1) . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/(y - 1) d y - log(z _ 1)/2
<br />          Dans l ' intégrant 1/(y - 1), < ... bsp;    d z _ 2 = 1 d y . <br />         
= ∫ 1 d y + 1/2 ∫ 1/z _ 2 d z _ 2 - log(z _ 1)/2
<br />          L ' intégrale de 1/z _ 2 est log(z _ 2) . <br />         
= ∫ 1 d y - log(z _ 1)/2 + log(z _ 2)/2
<br />          L ' intégrale de 1 est y . <br />         
= y - log(z _ 1)/2 + log(z _ 2)/2 + ÷r
<br />          Resubstituer z _ 2 = y - 1 . <br />         
= y + 1/2 log(y - 1) - log(z _ 1)/2 + ÷r
<br />          Resubstituer z _ 1 = y + 1 . <br />         
= y + 1/2 log(y - 1) - 1/2 log(y + 1) + ÷r
<br />          Resubstituer y = w^(1/2) . <br />         
= 1/2 log(w^(1/2) - 1) - 1/2 log(w^(1/2) + 1) + w^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer w = t^(2/3) . <br />         
= 1/2 log(t^(1/3) - 1) - 1/2 log(t^(1/3) + 1) + t^(1/3) + ÷r
<br />          Resubstituer t = 1/(1 - s)^(3/2) . <br />         
= 1/2 log(1/(1 - s)^(1/2) - 1) - 1/2 log(1 + 1/(1 - s)^(1/2)) + 1/(1 - s)^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer s = x^2 . <br />         
= 1/2 log(1/(1 - x^2)^(1/2) - 1) - 1/2 log(1 + 1/(1 - x^2)^(1/2)) + 1/(1 - x^2)^(1/2) + ÷r
<br />          Mettre en facteur pour une autre expression du résultat . <br />         
= ((1 - x^2)^(1/2) log(1/(1 - x^2)^(1/2) - 1) - (1 - x^2)^(1/2) log(1 + 1/(1 - x^2)^(1/2)) + 2)/(2 (1 - x^2)^(1/2)) + ÷r

Converted by Mathematica  (December 20, 2002)