fonctions trigonométriques rationnelles exemple 3


Voici ce que vous devez entrer:

1 / (tan[x]-1)

∫ 1/(tan(x) - 1) d x
<br />          Substituer <br />    &n ... ;    d s = sec^2(x) d x . <br />         
= ∫ 1/((s - 1) (s^2 + 1)) d s
<br />          Décomposer la fraction en éléments simples . <br />         
= ∫ ((-s - 1)/(2 (s^2 + 1)) + 1/(2 (s - 1))) d s
<br />          Intégrer la somme terme par ter ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/2 ∫ (s + 1)/(s^2 + 1) d s
<br />          Intégrer la somme (s + 1)/(s^2 + 1) terme par terme . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/2 ∫ 1/(s^2 + 1) d s - 1/2 ∫ s/(s^2 + 1) d s
<br />          Dans l ' intégrant s/(s^2 + 1), ...      d t = 2 s d s . <br />         
= 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/2 ∫ 1/(s^2 + 1) d s - 1/4 ∫ 1/t d t
<br />          L ' intégrale de 1/(s^2 + 1) est tan^(-1)(s) . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) + 1/2 ∫ 1/(s - 1) d s - 1/4 ∫ 1/t d t
<br />          Dans l ' intégrant 1/(s - 1), < ... p;     d w = 1 d s . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) - 1/4 ∫ 1/t d t + 1/2 ∫ 1/w d w
<br />          L ' intégrale de 1/w est log(w) . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) - 1/4 ∫ 1/t d t + log(w)/2
<br />          L ' intégrale de 1/t est log(t) . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) - log(t)/4 + log(w)/2 + ÷r
<br />          Resubstituer w = s - 1 . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) + 1/2 log(s - 1) - log(t)/4 + ÷r
<br />          Resubstituer t = s^2 + 1 . <br />         
= -1/2 tan^(-1)(s) + 1/2 log(s - 1) - 1/4 log(s^2 + 1) + ÷r
<br />          Resubstituer s = tan(x) . <br />         
= -x/2 - 1/2 log(sec(x)) + 1/2 log(tan(x) - 1) + ÷r

Converted by Mathematica  (December 20, 2002)