intégration par substitution exemple 11


Voici ce que vous devez entrer:

cos[x] / (sin[x] + cos[x]^2)


∫ cos(x)/(cos^2(x) + sin(x)) d x
<br />          Substituer <br />    &n ... sp;    d s = cos(x) d x . <br />         
= ∫ 1/(-s^2 + s + 1) d s
<br />          Décomposer le dénominateur en produit de termes linéaires . <br />         
= ∫ -1/((s + 1/2 (-1 - 5^(1/2))) (s + 1/2 (-1 + 5^(1/2)))) d s
<br />          Mettre en facteur les constantes . <br />         
= -∫ 1/((s + 1/2 (-1 - 5^(1/2))) (s + 1/2 (-1 + 5^(1/2)))) d s
<br />          Décomposer la fraction en éléments simples . <br />         
= -∫ (1/((1/2 (-1 - 5^(1/2)) + 1/2 (1 - 5^(1/2))) (s + 1/2 (-1 + 5^(1/2)))) + 1/((1/2 (-1 + 5^(1/2)) + 1/2 (1 + 5^(1/2))) (s + 1/2 (-1 - 5^(1/2))))) d s
<br />          Intégrer la somme term-by-term et mettre en facteur les constantes . <br />         
= 1/5^(1/2) ∫ 1/(s + 1/2 (-1 + 5^(1/2))) d s - 1/5^(1/2) ∫ 1/(s + 1/2 (-1 - 5^(1/2))) d s
<br />          Dans l ' intégrant 1/(s + 1/2 ( ... p;     d t = 1 d s . <br />         
= 1/5^(1/2) ∫ 1/(s + 1/2 (-1 + 5^(1/2))) d s - 1/5^(1/2) ∫ 1/t d t
<br />          Dans l ' intégrant 1/(s + 1/2 ( ... p;     d w = 1 d s . <br />         
= 1/5^(1/2) ∫ 1/w d w - 1/5^(1/2) ∫ 1/t d t
<br />          L ' intégrale de 1/t est log(t) . <br />         
= 1/5^(1/2) ∫ 1/w d w - log(t)/5^(1/2)
<br />          L ' intégrale de 1/w est log(w) . <br />         
= log(w)/5^(1/2) - log(t)/5^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer w = s + 1/2 (-1 + 5^(1/2)) . <br />         
= log(s + 1/2 (-1 + 5^(1/2)))/5^(1/2) - log(t)/5^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer t = s + 1/2 (-1 - 5^(1/2)) . <br />         
= log(s + 1/2 (-1 + 5^(1/2)))/5^(1/2) - log(s + 1/2 (-1 - 5^(1/2)))/5^(1/2) + ÷r
<br />          Resubstituer s = sin(x) . <br />         
= log(sin(x) + 1/2 (-1 + 5^(1/2)))/5^(1/2) - log(sin(x) + 1/2 (-1 - 5^(1/2)))/5^(1/2) + ÷r
<br />          Mettre en facteur pour une autre expression du résultat . <br />         
= -(log(sin(x) + 1/2 (-1 - 5^(1/2))) - log(sin(x) + 1/2 (-1 + 5^(1/2))))/5^(1/2) + ÷r

Converted by Mathematica  (November 29, 2002)