intégration par parties exemple 9


Voici ce que vous devez entrer:


arccos[x] sqrt[1 - x^2]


∫ arccos(x) sqrt(1 - x^2) d x
<br />          Intégrer par parties en utilisa ... 1/2 (1 - x^2)^(1/2) x + 1/2 sin^(-1)(x) . <br />         
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) - ∫ -(1/2 (1 - x^2)^(1/2) x + 1/2 sin^(-1)(x))/(1 - x^2)^(1/2) d x
<br />          Mettre en facteur les constantes . <br />         
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 ∫ ((1 - x^2)^(1/2) x + sin^(-1)(x))/(1 - x^2)^(1/2) d x
<br />          Effectuer la multiplication . <br />         
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 ∫ (x + sin^(-1)(x)/(1 - x^2)^(1/2)) d x
<br />          Intégrer la somme terme par terme . <br />         
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 ∫ x d x + 1/2 ∫ sin^(-1)(x)/(1 - x^2)^(1/2) d x
<br />          Dans l ' intégrant sin^(-1)(x)/ ... bsp;  d s = 1/(1 - x^2)^(1/2) d x . <br />         
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 ∫ s d s + 1/2 ∫ x d x
<br />          L ' intégrale de x est x^2/2 . <br />         
= x^2/4 + 1/2 (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) x + 1/2 cos^(-1)(x) sin^(-1)(x) + 1/2 ∫ s d s
<br />          L ' intégrale de s est s^2/2 . <br />         
= s^2/4 + x^2/4 + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 cos^(-1)(x) sin^(-1)(x) + ÷r
<br />          Resubstituer s = sin^(-1)(x) . <br />         
= x^2/4 + 1/2 (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) x + 1/4 sin^(-1)(x)^2 + 1/2 cos^(-1)(x) sin^(-1)(x) + ÷r

Converted by Mathematica  (December 19, 2002)