fonctions rationnelles exemple 9


Voici ce que vous devez entrer:

x^3 / (x^3 + 1)

∫ x^3/(x^3 + 1) d x
<br />          Effectuer la division . <br />         
= ∫ (1 - 1/((x + 1) (x^2 - x + 1))) d x
<br />          Intégrer la somme terme par ter ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= ∫ 1 d x - ∫ 1/((x + 1) (x^2 - x + 1)) d x
<br />          Décomposer la fraction 1/((x + ... + 1)) en éléments simples . <br />         
= ∫ 1 d x - ∫ ((2 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1))) d x
<br />          Intégrer (2 - x)/(3 (x^2 - x + ... bsp; et mettre en facteur les constantes . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x - 1/3 ∫ (2 - x)/(x^2 - x + 1) d x
<br />          Compléter le carré dans (2 - x)/(x^2 - x + 1) . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Dans l ' intégrant (2 - x)/((x ... p;     d s = 1 d x . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ (3/2 - s)/(s^2 + 3/4) d s - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Dans l ' intégrant (3/2 - s)/(s ...     d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         
= ∫ 1 d x - 2/(3 3^(1/2)) ∫ (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Intégrer la somme (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) terme par terme . <br />         
= ∫ 1 d x - 1/3^(1/2) ∫ 1/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          L ' intégrale de 1/(t^2 + 1) est tan^(-1)(t) . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Dans l ' intégrant t/(t^2 + 1), ...      d w = 2 t d t . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x
<br />          Dans l ' intégrant 1/(x + 1), < ... p;     d y = 1 d x . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/y d y
<br />          L ' intégrale de 1/y est log(y) . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - log(y)/3
<br />          L ' intégrale de 1/w est log(w) . <br />         
= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + log(w)/6 - log(y)/3
<br />          L ' intégrale de 1 est x . <br />         
= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - log(y)/3 + ÷r
<br />          Resubstituer y = x + 1 . <br />         
= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - 1/3 log(x + 1) + ÷r
<br />          Resubstituer w = t^2 + 1 . <br />         
= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/6 log(t^2 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r
<br />          Resubstituer t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         
= x - tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r
<br />          Resubstituer s = x - 1/2 . <br />         
= x - tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + ÷r

Converted by Mathematica  (December 20, 2002)