1. Cette intégrale simple peut être calculée par substitution ou en effectuant la multiplication.

Si on ignore la constante d'intégration C, la différence entre le premier et le second résultat est 1/3.

∫ (x + 1)^2 d x


Substituer
t = x + 1,
dt = 1 dx.

= ∫ t^2 d t

... 3

= t^3/3 + śr


Resubstituer t = x + 1.

= 1/3 (x + 1)^3 + śr


Effectuer la multiplication.

= x^3/3 + x^2 + x + 1/3 + śr

∫ (x + 1)^2 d x


Effectuer la multiplication.

∫ (x^2 + 2 x + 1) d x


Intégrer la somme terme par terme et mettre en facteurs les constantes.

= ∫ x^2 d x + 2 ∫ x d x + ∫ 1 d x


Intégrer chaque terme.

= x^3/3 + x^2 + x + śr


2. Voici trois manières de faire la même intégrale trigonométrique.


En général, quand vous choisissez des méthodes différentes, les réponses ne diffèrent que d'une constante.
    


Dans ce cas particulier, toutes les trois résponses sont identiques. On le voit à la fin.

∫ sin^2(x) cos^2(x) d x


Substituer 1/2 sin(2x) pour sin(x)cos(x).

= 1/4 ∫ sin^2(2 x) d x


Substituer
t=2 x,
dt=2dx.

= 1/8 ∫ sin^2(t) d t

2 ... 2 4

= t/16 - 1/32 sin(2 t) + śr


Resubstituer t=2 x.

= x/8 - 1/32 sin(4 x) + śr

∫ sin^2(x) cos^2(x) d x

<br /> Utiliser la formule de réduction <br /> ∫ sin^m (x) cos^n (x) d x = (m ... ^n (x) d x - 1/(m + n) cos^(n + 1) (x) sin^(m - 1) (x) <br /> où m = 2 et n = 2. <br />

= 1/4 ∫ cos^2(x) d x - 1/4 cos^3(x) sin(x)

<br /> L ' intégrale de cos^2 (x) est x/2 + 1/4 sin (2 x) . <br />

= -1/4 sin(x) cos^3(x) + x/8 + 1/16 sin(2 x) + śr

∫ sin^2(x) cos^2(x) d x

<br /> Utiliser la formule de réduction <br /> ∫ sin^m (x) cos^n (x) d x = (n ... ) (x) d x - 1/(m + n) cos^(n - 1) (x) sin^(m + 1) (x) <br /> où m = 2 et n = 2. <br />

= 1/4 ∫ sin^2(x) d x + 1/4 cos(x) sin^3(x)

<br /> L ' intégrale de sin^2 (x) est x/2 - 1/4 sin (2 x) . <br />

= x/8 - 1/16 sin(2 x) + 1/4 cos(x) sin^3(x) + śr


Nous allons démontrer que la première et la seconde réponse sont identique. La même méthode sert a démontrer que la troisième et aussi identique aux deux autres, mais l'algèbre en est plus compliquée.


Voici la première réponse.

x/8 - 1/32 sin(4 x) + śr


Voici la seconde réponse.

= -1/4 sin(x) cos^3(x) + x/8 + 1/16 sin(2 x) + śr


Donc nous devont montrer que

-1/32 sin(4 x) = -1/4 sin(x) cos^3(x) + 1/16 sin(2 x)


Si on multiplie par -32, nous devons montrer que

sin(4 x) = 8 sin(x) cos^3(x) - 2 sin(2 x)


Dans le premier terme au coté droite, remplacez  2 sin(x) cos(x) par sin(2x).

8 sin(x) cos^3(x) - 2 sin(2 x) = 4 sin(2 x) cos^2(x) - 2 sin(2 x)


Mettre en facteur.  

= 2 sin(2 x) (2 cos^2(x) - 1)

<br /> Remplacer un des termes en cos^2 (x) par 1 - sin^2 (x) .    <br />

= 2 sin(2 x) (cos^2(x) - sin^2(x))

<br /> Remplacer sin^2 (x) - cos^2 (x) par cos (2 x) . <br />

= 2 sin(2 x) cos(2 x)


En fin, remplacer 2sin(A)cos(A) par sin(2A)  où  A = 2x.

=    sin(4 x)

Converted by Mathematica  (January 12, 2003)